Surface Area of n-sphere

Physics Jun 14, 2025

Introduction

이 글에서는 n 차원 초구(hypersphere)의 겉부피를 구해볼 것이다. 나중에 열 및 통계 역학에서 나오는 식을 유도할 때 사용되기 때문에 잘 알아두도록 하자. 일단 n 차원 구의 겉부피는 다음과 같다.

💡

\[S_{n-1} = \frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} R^{n-1} \]

이때, \(S_{n-1} \) 은 n 차원 초구의 겉부피, \(R\) 은 n 차원 초구의 반지름이다.

PROOF

n-sphere 의 표면적은 \(A_{n} R^{n-1}\) 으로 표현된다는 사실은 그냥 경험적으로 받아들이도록 하자. 이 사실을 받아들였으면, 정말 발상이 어렵지만 \(I_{n}(\alpha) \) 라는 함수를 생각하자.
\[I_n(\alpha) = \int\nolimits_{0}^{\infty}x^{n} e^{-\alpha x^2}\mathrm{d}x\]
여기서 \(\alpha x^2 = y \) 로 치환을 하게 되면,

\[\frac{1}{2} \frac{1}{\alpha^{\frac{n+1}{2}}} \int\nolimits_{0}^{\infty} y^{\frac{n-1}{2}} e^{-y} \mathrm{d}y\]

이 식에서 감마 함수의 꼴이 등장하기 때문에 감마 함수를 도입하게 되면,

\[I_{n}(\alpha)=\frac{1}{2} \frac{1}{\alpha^{\frac{n+1}{2}}} \Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right) \space\dots\space (\star)\]

이제 \(I_{0}(\alpha) = \int\nolimits_{0}^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx \) 를 n 제곱 해보자.

\[{\left(I_o(\alpha)\right)}^n = {\left(\frac{1}{2} \frac{1}{\alpha^{\frac{1}{2}}} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\right)}^n = \int\limits_{x_i=0}^{\infty} e^{-\alpha({x_1}^2+{x_2}^2+\space\dots\space+{x_n}^2)} \mathrm{d}{x_1}\mathrm{d}{x_2}\space\dots\space \mathrm{d}{x_n}\]

마지막 식은 사실 중적분의 형태로 나타내어야 하지만 간략하게 표현하기 위해서 \(\int_{x_i=0}^{\infty}\) 라고 표현했다. 이때, \({x_1}^2+{x_2}^2+\space\dots\space+{x_n}^2 = r^2\) (\(r\) 은 n 차원 구의 반지름) 으로 생각할 수 있고, \(\mathrm{d}{x_1}\mathrm{d}{x_2}\space\dots\space \mathrm{d}{x_n} \) 은 조금 직관적으로 설명해보면, 각각의 축의 방향으로 \(\mathrm{d}{x_i}\) 만큼 변화하였을 때 그 값들을 모두 곱한 것이므로 결국에는 변화한 전체 부피의 \(\frac{1}{2^n}\) 으로 생각할 수 있다. 따라서 변화한 전체 부피를 \(r\) 을 이용하여 나타내면, n 차원 초구의 겉부피에 \(\mathrm{d}r\) 을 곱한 것으로 생각할 수 있으므로, \(\mathrm{d}{x_1}\mathrm{d}{x_2}\space\dots\space \mathrm{d}{x_n} = \frac{A_{n}}{2^{n}} r^{n-1} \mathrm{d}r\) 이다. 이제 이 변환한 식들을 다시 대입을 하면,

\[{\left(I_o(\alpha)\right)}^n = \int\nolimits_{r=0}^{\infty} \frac{A_{n}}{2^n}r^{n-1}e^{-\alpha r^2}\mathrm{d}r = \frac{A_{n}}{2^n} I_{n-1}(\alpha) = \frac{A_{n}}{2^{n+1}}\frac{1}{{\alpha}^{\frac{n}{2}}}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\]

따라서,

\[\left(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\right)^n = \frac{A_{n}}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\]

이때, \(n\) 에 2 를 대입해주면, \(A_{2} = 2\pi\) 이고 \(\Gamma(1)=1\) 이므로, \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\) 임을 알 수 있다. 결과적으로,

\[A_n = \frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\]

이 되고, \(S_{n-1} = A_n \times R^{n-1} \) 이므로

\[\therefore S_{n-1} = \frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} R^{n-1} \]